Resumen El objetivo de este estudio ha sido identificar y comparar las estructuras que evidencian los estudiantes de educación primaria en las formas directa e inversa de una función, tanto para el trabajo con casos particulares como en la generalización desde un enfoque funcional del early algebra. El estudio que se lleva a cabo es de tipo cualitativo y de carácter exploratorio y descriptivo. Se diseña una tarea contextualizada que involucra la función lineal y=x+4, en sus formas directa e inversa. Los seis estudiantes participantes de este estudio de educación primaria (7-8 años) trabajaron la tarea durante entrevistas semiestructuradas que se desarrollaron en el curso académico 2017/2018. Los estudiantes proceden de un colegio de Granada (España). Se describen las estructuras evidenciadas en ambas formas de la función y tanto en el trabajo con casos particulares como cuando se les pregunta por el caso general. Los seis estudiantes identificaron estructuras adecuadas de la forma directa de la función en al menos una ocasión durante la entrevista. En la forma inversa se observaron estructuras también adecuadas, pero hubo estudiantes que no respondieron o a los que no se les hicieron preguntas de esta parte. La mayoría de las estructuras generalizadas se evidenciaron al preguntarles explícitamente por la generalización tanto en la forma directa como en la forma inversa de la función. Al trabajar con la relación entre dos variables se identificaron diferencias entre las estructuras identificadas por el estudiantado en ambas formas de una función: directa e inversa. La mayor parte de las estructuras identificadas fueron adecuadas al problema y esto anima al trabajo con ambas formas de las funciones lineales en educación primaria.

Resumo Este estudo teve como objetivo identificar e comparar as estruturas evidenciadas por estudantes do ensino fundamental nas formas direta e inversa de uma função, tanto para o trabalho com casos particulares quanto na generalização a partir de uma abordagem funcional da Early Algebra. O estudo efetuado é do tipo qualitativo e de carácter exploratório e descritivo. Projeta-se uma tarefa contextualizada que envolve a função linear y=x+4, em suas formas direta e inversa. Os seis estudantes que participam deste estudo de educação fundamental (7-8 anos) trabalharam na tarefa durante entrevistas semiestruturadas desenvolvidas no período acadêmico 2017/2018. Os estudantes provêm de um colégio de Granada (Espanha). São descritas as estruturas evidenciadas em ambas as formas da função, tanto no trabalho com casos particulares quanto ao ser questionados sobre o caso geral. Os seis estudantes identificaram estruturas adequadas da forma direta da função em ao menos uma ocasião durante a entrevista. Na forma inversa, foram observadas estruturas também adequadas, porém houve estudantes que não responderam ou aos que não foram feitas perguntas dessa parte. A maioria das estruturas generalizadas ficaram evidentes quando lhes perguntaram explicitamente sobre a generalização tanto na forma direta quanto na inversa da função. Ao se trabalhar com a relação entre duas variáveis foram identificadas diferenças entre as estruturas discernidas pelos alunos em ambas as formas de uma função: direta e inversa. A maior parte das estruturas identificadas foram adequadas para o problema, animando o trabalho com ambas as formas das funções lineares na educação fundamental.

Abstract This study aimed to identify and compare the structures evidenced by primary school students in direct and inverse forms of a function, both working with particular cases and generalizing from an early algebra functional approach. The study was qualitative, exploratory, and descriptive. A contextualized task was designed involving the linear functiony=x+4 in direct and inverse variations. Six 2nd graders (7-8 years of age) from a school in Granada (Spain) participated in the study performing a designed task during semi-structured interviews conducted in the 2017-2018 school year. We described the structures evidenced in both variations with particular cases and the general case. All six students identified adequate structures in the direct variation of the function at least once during the interview. Adequate structures were also observed in the inverse variation. However, some students did not respond to this section or were not asked these questions. The majority of the structures that students generalized were produced when explicitly asked for generalization, in both direct and inverse variations of the function. When using the relationship between two variables, differences were found between structures identified by students in both direct and inverse variations. Most of the structures identified were adequate for the problem, which encourages work with both variations of linear functions in primary education.

Abstract We characterize the Colombian research and innovation community in Mathematics Education from its open access documentary production. We analyzed the content of 3475 documents published by this community between 1983 and 2017, with a semantic approach, from a taxonomy of key terms specific to Mathematics Education. We analyzed the diachronic behavior of the documentation and established the thematic specialty, the evolution of the content over time through the sets of variables such as educational level, pedagogical notions, and mathematics topics, and the association between these sets. The results confirm that Mathematics Education in Colombia is a study front. The focal points of interest for the community are the undergraduate and secondary educational levels, the pedagogical notions of learning, classroom and teaching, and the topics of geometry, algebra, and numbers. This study leaves an open discussion regarding the role of research and innovation in the consolidation of Mathematics Education as a discipline.

Resumen Caracterizamos la comunidad colombiana de Educación Matemática desde su documentación de acceso abierto. Analizamos del contenido de 3475 documentos publicados entre 1983 y 2017, con una aproximación semántica, desde una taxonomía específica para la Educación Matemática. Describimos el comportamiento diacrónico de la documentación y establecemos la especialidad temática, la evolución en el tiempo de los contenidos a través de los conjuntos de variables nivel educativo, nociones pedagógicas y temas de matemáticas, y la asociación entre estos conjuntos. Los resultados ratifican que la Educación Matemática en Colombia es un frente de estudio. Los focos de interés de la comunidad son los niveles educativos pregrado y media, las nociones pedagógicas aprendizaje, aula y enseñanza, y los temas de matemáticas geometría, álgebra y números. Este estudio deja abierta la discusión respecto al papel de la investigación y la innovación en la consolidación de la Educación Matemática como disciplina.

Abstract We present results of a study which objective was the open access documental production characterization of the Spanish-speaking community in Mathematics Education for middle school. From a taxonomy of key terms specific to Mathematics Education, we made a semantic approach to the documentation content, which was produced by this community of teachers and researchers between 1986 and 2017. We defined the following study variables: educational level, document type, school mathematics, and curriculum. We crossed the educational level variable with the other variables and, with a normalization process, we identified the values of these variables in which the middle school is different from the other educational levels, since it has the highest or lowest percentage of documents published. In comparison with other educational levels, middle school is distinguished by having the highest or one of the highest production levels in activities. It stands out for addressing issues of probability, calculation, measurement and algebra, and classroom and learning.

Resumen Exponemos resultados de un estudio cuyo objetivo es la caracterización de la producción documental de acceso abierto de la comunidad de habla hispana en Educación Matemática para la educación media. A partir de una taxonomía de términos clave, específica de la Educación Matemática, realizamos una aproximación semántica al contenido de la documentación que fue producida por esta comunidad de profesores e investigadores entre 1986 y 2017. Definimos las siguientes variables de estudio: nivel educativo, enfoque, matemáticas escolares y currículo. Realizamos el cruce de la variable nivel educativo con las otras variables y, con un proceso de normalización, identificamos los valores de las variables en los que la educación media se distingue de los otros niveles educativos por tener el mayor o el menor porcentaje de publicación de documentos. En comparación con otros niveles educativos, la educación media se distingue por tener el mayor o uno de los mayores niveles de producción en actividades. Se destaca por abordar temas de probabilidad, cálculo, medida y álgebra, y de aula y aprendizaje.

Abstract The notion of hypothetical learning trajectory has generated much interest among experts in mathematics education. It is proposed that this notion is a useful tool in teachers’ teaching practice and that it is necessary to prepare teachers in their capacity to formulate hypothetical learning trajectories about specific mathematics school topics. It is therefore also necessary to explore the learning processes that teachers undergo when learning this notion in their education. In this article, we introduce the notion of learning hypotheses as an adaptation of the idea of hypothetical learning trajectory (SIMON, 1995). We describe how the groups of secondary-school mathematics teachers that participated in a teacher education program understood and used this notion in order to determine the contribution of a set of tasks to a learning goal previously established. We found that the groups developed their knowledge of the notion of learning hypotheses and used it in a heterogeneous way, and that the education program was partly successful in its goal to make the groups of teachers learn and perceive the notion’s utility.

Resumen La noción de trayectoria hipotética de aprendizaje ha generado mucho interés entre expertos de Educación Matemática. Se afirma que esta noción es una herramienta útil para la práctica docente de los profesores y que es necesario formarlos en su capacidad para formular trayectorias hipotéticas de aprendizaje sobre temas específicos de las matemáticas escolares. Por tanto, es necesario explorar los procesos de aprendizaje de los profesores cuando aprenden esta noción. Este artículo introduce esta noción de hipótesis de aprendizaje como una adaptación de la idea de trayectoria hipotética de aprendizaje (SIMON, 1995). Describimos cómo los grupos de profesores de matemáticas de educación secundaria que participaron en un programa de formación de profesores entendieron y usaron esta noción para establecer la contributión de un conjunto de tareas a un objetivo de aprendizaje previamente establecido. Encontramos que los grupos desarrollaron su conocimiento de esta noción de una forma heterogénea y que el programa de formación fue exitoso parcialmente en su objetivo de hacer que los grupos de profesores aprendieran y percibieran la utilidad de esta noción.

Résumé Dans cet article, nous explorons l’apprentissage de l’analyse phénoménologique dans un programme de master en métiers de l’enseignement, de l’éducation et de la formation de mathématiques de secondaire que suit le modèle de l’analyse didactique. De la description des aspects théoriques et techniques de cet organisateur curriculaire, nous établissons une série d’actions qui aident à décrire la performance des groupes de professeurs stagiaires dans leur travail écrit. Nous avons constaté que les groupes n’ont montré aucune difficulté avec l’idée de la situation, ont exprimé quelques difficultés avec les idées de phénomène et de contexte -en particulier en ce qui concerne la notion de caractéristique structurelle- et ont révélé de graves problèmes avec l’idée de sous-structure et de sa relation avec la notion de contexte.

Resumo Neste artigo vamos explorar a aprendizagem de análise fenomenológica em um programa de mestrado em ensino de matemática no Secundário baseado no modelo de análise didactico. Mediante de uma descrição dos aspectos teóricos e técnicos desta nação, estabelecemos uma série de ações que ajudam a descrever o desempenho de grupos de professores estagiários em seu trabalho escrito. Nós descobrimos que os grupos não apresentaram dificuldades com a idea de situação, expressam algumas dificuldades com as idéias do fenômeno e contexto -particularmente em relação à noção e característica estrutural- e revelou problemas graves com a idéia de sub-estrutura e sua relação à noção de contexto.

Abstract In this paper, we explore the learning of phenomenological analysis in a mathematics secondary teacher education master program based on the didactical analysis model. From the description of theoretical and technical aspects, we establish a set of actions that allow us to describe the groups of teachers’ performance through their written documents. We found that the groups did not have learning difficulties with idea of situation, had difficulties with the ideas of phenomenon and context - particularly when referring to the notion of structural characteristic-, and showed serious difficulties with the idea of substructure and its relation to the notion of context.

Resumen En este artículo exploramos el aprendizaje del análisis fenomenológico en un programa de máster de formación de profesores de matemáticas de secundaria en ejercicio basado en el modelo del análisis didáctico. A partir de una descripción de los aspectos teóricos y técnicos de la noción de fenomenología, establecemos una serie de acciones que permiten describir la actuación de los grupos de profesores en formación en sus producciones escritas. Encontramos que los grupos no manifestaron dificultades de aprendizaje con la idea de situación, que tuvieron dificultades con las ideas de fenómeno y contexto -particularmente en relación con la noción de característica estructural-, y que lo hicieron en mayor medida respecto a la idea de subestructura y su relación con la noción de contexto.